Python pour la data science

Lino Galiana

doi:10.5281/zenodo.8229676

Le précédent chapitre visait à proposer un premier modèle pour comprendre les comtés où le parti Républicain l’emporte. La variable d’intérêt étant bimodale (victoire ou défaite), on était dans le cadre d’un modèle de classification.

Maintenant, sur les mêmes données, on va proposer un modèle de régression pour expliquer le score du parti Républicain. La variable est donc continue. Nous ignorerons le fait que ses bornes se trouvent entre 0 et 100 et donc qu’il faudrait, pour être rigoureux, transformer l’échelle afin d’avoir des données dans cet intervalle.

Ce chapitre utilise toujours le même jeu de données, présenté dans l’introduction de cette partie : les données de vote aux élections présidentielles américaines croisées à des variables sociodémographiques. Le code est disponible sur Github.

!pip install --upgrade xlrd #colab bug verson xlrd
!pip install geopandas

import requests

url = "https://raw.githubusercontent.com/linogaliana/python-datascientist/master/content/modelisation/get_data.py"
r = requests.get(url, allow_redirects=True)
open("getdata.py", "wb").write(r.content)

import getdata

votes = getdata.create_votes_dataframes()

Ce chapitre va utiliser plusieurs packages de modélisation, les principaux étant Scikit et Statsmodels. Voici une suggestion d’import pour tous ces packages.

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
from sklearn.model_selection import train_test_split
import sklearn.metrics
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns
import pandas as pd

1 Principe général

Le principe général de la régression consiste à trouver une loi \(h_\theta(X)\) telle que

\[ h_\theta(X) = \mathbb{E}_\theta(Y|X) \] Cette formalisation est extrêmement généraliste et ne se restreint d’ailleurs par à la régression linéaire.

En économétrie, la régression offre une alternative aux méthodes de maximum de vraisemblance et aux méthodes des moments. La régression est un ensemble très vaste de méthodes, selon la famille de modèles (paramétriques, non paramétriques, etc.) et la structure de modèles.

1.1 La régression linéaire

C’est la manière la plus simple de représenter la loi \(h_\theta(X)\) comme combinaison linéaire de variables \(X\) et de paramètres \(\theta\). Dans ce cas,

\[ \mathbb{E}_\theta(Y|X) = X\beta \]

Cette relation est encore, sous cette formulation, théorique. Il convient de l’estimer à partir des données observées \(y\). La méthode des moindres carrés consiste à minimiser l’erreur quadratique entre la prédiction et les données observées (ce qui explique qu’on puisse voir la régression comme un problème de Machine Learning). En toute généralité, la méthode des moindres carrés consiste à trouver l’ensemble de paramètres \(\theta\) tel que

\[ \theta = \arg \min_{\theta \in \Theta} \mathbb{E}\bigg[ \left( y - h_\theta(X) \right)^2 \bigg] \]

Ce qui, dans le cadre de la régression linéaire, s’exprime de la manière suivante :

\[ \beta = \arg\min \mathbb{E}\bigg[ \left( y - X\beta \right)^2 \bigg] \]

Lorsqu’on amène le modèle théorique (\(\mathbb{E}_\theta(Y|X) = X\beta\)) aux données, on formalise le modèle de la manière suivante :

\[ Y = X\beta + \epsilon \]

Avec une certaine distribution du bruit \(\epsilon\) qui dépend des hypothèses faites. Par exemple, avec des \(\epsilon \sim \mathcal{N}(0,\sigma^2)\) i.i.d., l’estimateur \(\beta\) obtenu est équivalent à celui du Maximum de Vraisemblance dont la théorie asymptotique nous assure l’absence de biais, la variance minimale (borne de Cramer-Rao).

Exercice 1a : Régression linéaire avec scikit

Cet exercice vise à illustrer la manière d’effectuer une régression linéaire avec scikit. Dans ce domaine, statsmodels est nettement plus complet, ce que montrera l’exercice suivant. L’intérêt principal de faire des régressions avec scikit est de pouvoir comparer les résultats d’une régression linéaire avec d’autres modèles de régression. Cependant, le chapitre sur les pipelines montrera qu’on peut très bien insérer, avec quelques efforts de programmation orientée objet, une régression statsmodels dans un pipeline scikit.

L’objectif est d’expliquer le score des Républicains en fonction de quelques variables. Contrairement au chapitre précédent, où on se focalisait sur un résultat binaire (victoire/défaite des Républicains), cette fois on va chercher à modéliser directement le score des Républicains.

A partir de quelques variables, par exemple, ‘Unemployment_rate_2019’, ‘Median_Household_Income_2019’, ‘Percent of adults with less than a high school diploma, 2015-19’, “Percent of adults with a bachelor’s degree or higher, 2015-19”, expliquer la variable per_gop à l’aide d’un échantillon d’entraînement X_train constitué au préalable.

⚠️ Utiliser la variable Median_Household_Income_2019 en log sinon son échelle risque d’écraser tout effet.

Afficher les valeurs des coefficients, constante comprise
Evaluer la pertinence du modèle avec le \(R^2\) et la qualité du fit avec le MSE.
Représenter un nuage de points des valeurs observées et des erreurs de prédiction. Observez-vous un problème de spécification ?

Voici le nuage de points de nos erreurs:

Clairement, le modèle présente un problème de spécification.

Exercice 1b : Régression linéaire avec statsmodels

Cet exercice vise à illustrer la manière d’effectuer une régression linéaire avec statsmodels qui offre des fonctionnalités plus proches de celles de R, et moins orientées Machine Learning.

L’objectif est toujours d’expliquer le score des Républicains en fonction de quelques variables.

A partir de quelques variables, par exemple, ‘Unemployment_rate_2019’, ‘Median_Household_Income_2019’, ‘Percent of adults with less than a high school diploma, 2015-19’, “Percent of adults with a bachelor’s degree or higher, 2015-19”, expliquer la variable per_gop. ⚠️ utiliser la variable Median_Household_Income_2019 en log sinon son échelle risque d’écraser tout effet.
Afficher un tableau de régression.
Evaluer la pertinence du modèle avec le R^2.
Utiliser l’API formula pour régresser le score des républicains en fonction de la variable Unemployment_rate_2019, de Unemployment_rate_2019 au carré et du log de Median_Household_Income_2019.

Hint

Pour sortir une belle table pour un rapport sous \(\LaTeX\), il est possible d’utiliser la méthode Summary.as_latex. Pour un rapport HTML, on utilisera Summary.as_html

Note

Les utilisateurs de R retrouveront des éléments très familiers avec statsmodels, notamment la possibilité d’utiliser une formule pour définir une régression. La philosophie de statsmodels est similaire à celle qui a influé sur la construction des packages stats et MASS de R: offrir une librairie généraliste, proposant une large gamme de modèles. Néanmoins, statsmodels bénéficie de sa jeunesse par rapport aux packages R. Depuis les années 1990, les packages R visant à proposer des fonctionalités manquantes dans stats et MASS se sont multipliés alors que statsmodels, enfant des années 2010, n’a eu qu’à proposer un cadre général (les generalized estimating equations) pour englober ces modèles.

1.2 La régression logistique

Ce modèle s’applique à une distribution binaire. Dans ce cas, \(\mathbb{E}_{\theta} (Y|X) = \mathbb{P}_{\theta} (Y = 1|X)\). La régression logistique peut être vue comme un modèle linéaire en probabilité :

\[ \text{logit}\bigg(\mathbb{E}_{\theta}(Y|X)\bigg) = \text{logit}\bigg(\mathbb{P}_{\theta}(Y = 1|X)\bigg) = X\beta \]

La fonction \(\text{logit}\) est \(]0,1[ \to \mathbb{R}: p \mapsto \log(\frac{p}{1-p})\).

Elle permet ainsi de transformer une probabilité dans \(\mathbb{R}\). Sa fonction réciproque est la sigmoïde (\(\frac{1}{1 + e^{-x}}\)), objet central du Deep Learning.

Il convient de noter que les probabilités ne sont pas observées, c’est l’outcome binaire (0/1) qui l’est. Cela amène à voir la régression logistique de deux manières différentes :

En économétrie, on s’intéresse au modèle latent qui détermine le choix de l’outcome. Par exemple, si on observe les choix de participer ou non au marché du travail, on va modéliser les facteurs déterminant ce choix ;
En Machine Learning, le modèle latent n’est nécessaire que pour classifier dans la bonne catégorie les observations

L’estimation des paramètres \(\beta\) peut se faire par maximum de vraisemblance ou par régression, les deux solutions sont équivalentes sous certaines hypothèses.

Note

Par défaut, scikit applique une régularisation pour pénaliser les modèles peu parcimonieux (comportement différent de celui de statsmodels). Ce comportement par défaut est à garder à l’esprit si l’objectif n’est pas de faire de la prédiction.

Exercice 2a : Régression logistique avec scikit

Avec scikit, en utilisant échantillons d’apprentissage et d’estimation :

Evaluer l’effet des variables déjà utilisées sur la probabilité des Républicains de gagner. Affichez la valeur des coefficients.
Déduire une matrice de confusion et une mesure de qualité du modèle.
Supprimer la régularisation grâce au paramètre penalty. Quel effet sur les paramètres estimés ?

Exercice 2b : Régression logistique avec statmodels

En utilisant échantillons d’apprentissage et d’estimation :

Evaluer l’effet des variables déjà utilisées sur la probabilité des Républicains de gagner.
Faire un test de ratio de vraisemblance concernant l’inclusion de la variable de (log)-revenu.

Hint

La statistique du test est : \[ LR = -2\log\bigg(\frac{\mathcal{L}_{\theta}}{\mathcal{L}_{\theta_0}}\bigg) = -2(\mathcal{l}_{\theta} - \mathcal{l}_{\theta_0}) \]

2 Pour aller plus loin

Ce chapitre n’évoque les enjeux de la régression que de manière très introductive. Pour compléter ceci, il est recommandé d’explorer les champs suivants:

Les modèles linéaires généralisés pour découvrir la régression avec des hypothèses plus générales que celles que nous avons posées jusqu’à présent ;
Les autres modèles de régression de machine learning comme les forêts aléatoires ;
Les tests d’hypothèses pour aller plus loin sur ces questions que notre test de ratio de vraisemblance.

Informations additionnelles

environment files have been tested on.

Latest built version: 2024-07-26

Python version used:

'3.11.6 | packaged by conda-forge | (main, Oct  3 2023, 10:40:35) [GCC 12.3.0]'

Package	Version
affine	2.4.0
aiobotocore	2.12.2
aiohttp	3.9.3
aioitertools	0.11.0
aiosignal	1.3.1
alembic	1.13.1
aniso8601	9.0.1
annotated-types	0.7.0
appdirs	1.4.4
archspec	0.2.3
astroid	3.1.0
asttokens	2.4.1
attrs	23.2.0
Babel	2.15.0
bcrypt	4.1.2
beautifulsoup4	4.12.3
black	24.4.2
blinker	1.7.0
blis	0.7.11
bokeh	3.4.0
boltons	23.1.1
boto3	1.34.51
botocore	1.34.51
branca	0.7.1
Brotli	1.1.0
cachetools	5.3.3
cartiflette	0.0.2
Cartopy	0.23.0
catalogue	2.0.10
cattrs	23.2.3
certifi	2024.2.2
cffi	1.16.0
charset-normalizer	3.3.2
chromedriver-autoinstaller	0.6.4
click	8.1.7
click-plugins	1.1.1
cligj	0.7.2
cloudpathlib	0.18.1
cloudpickle	3.0.0
colorama	0.4.6
comm	0.2.2
commonmark	0.9.1
conda	24.3.0
conda-libmamba-solver	24.1.0
conda-package-handling	2.2.0
conda_package_streaming	0.9.0
confection	0.1.5
contextily	1.6.0
contourpy	1.2.1
cryptography	42.0.5
cycler	0.12.1
cymem	2.0.8
cytoolz	0.12.3
dask	2024.4.1
dask-expr	1.0.10
debugpy	1.8.1
decorator	5.1.1
dill	0.3.8
distributed	2024.4.1
distro	1.9.0
docker	7.0.0
duckdb	0.10.1
en-core-web-sm	3.7.1
entrypoints	0.4
et-xmlfile	1.1.0
exceptiongroup	1.2.0
executing	2.0.1
fastjsonschema	2.19.1
fiona	1.9.6
flake8	7.0.0
Flask	3.0.2
folium	0.16.0
fontawesomefree	6.6.0
fonttools	4.51.0
frozenlist	1.4.1
fsspec	2023.12.2
GDAL	3.8.4
gensim	4.3.2
geographiclib	2.0
geopandas	0.12.2
geoplot	0.5.1
geopy	2.4.1
gitdb	4.0.11
GitPython	3.1.43
google-auth	2.29.0
graphene	3.3
graphql-core	3.2.3
graphql-relay	3.2.0
graphviz	0.20.3
great-tables	0.10.0
greenlet	3.0.3
gunicorn	21.2.0
h11	0.14.0
htmltools	0.5.3
hvac	2.1.0
idna	3.6
imageio	2.34.2
importlib_metadata	7.1.0
importlib_resources	6.4.0
inflate64	1.0.0
ipykernel	6.29.3
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isort	5.13.2
itsdangerous	2.1.2
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Jinja2	3.1.3
jmespath	1.0.1
joblib	1.3.2
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jsonpointer	2.4
jsonschema	4.21.1
jsonschema-specifications	2023.12.1
jupyter-cache	1.0.0
jupyter_client	8.6.1
jupyter_core	5.7.2
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markdown-it-py	3.0.0
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matplotlib	3.8.3
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python-dateutil	2.9.0
python-dotenv	1.0.1
python-magic	0.4.27
pytz	2024.1
pyu2f	0.1.5
pywaffle	1.1.1
PyYAML	6.0.1
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pyzstd	0.16.0
QtPy	2.4.1
querystring-parser	1.2.4
rasterio	1.3.10
referencing	0.34.0
regex	2023.12.25
requests	2.31.0
requests-cache	1.2.1
requests-oauthlib	2.0.0
rich	13.7.1
rpds-py	0.18.0
rsa	4.9
Rtree	1.2.0
ruamel.yaml	0.18.6
ruamel.yaml.clib	0.2.8
s3fs	2023.12.2
s3transfer	0.10.1
scikit-image	0.24.0
scikit-learn	1.4.1.post1
scipy	1.13.0
seaborn	0.13.2
selenium	4.23.1
setuptools	69.2.0
shapely	2.0.3
shellingham	1.5.4
six	1.16.0
smart_open	7.0.4
smmap	5.0.0
sniffio	1.3.1
snuggs	1.4.7
sortedcontainers	2.4.0
soupsieve	2.5
spacy	3.7.5
spacy-legacy	3.0.12
spacy-loggers	1.0.5
SQLAlchemy	2.0.29
sqlparse	0.4.4
srsly	2.4.8
stack-data	0.6.2
statsmodels	0.14.1
tabulate	0.9.0
tblib	3.0.0
tenacity	8.2.3
texttable	1.7.0
thinc	8.2.5
threadpoolctl	3.4.0
tifffile	2024.7.24
tomli	2.0.1
tomlkit	0.12.4
toolz	0.12.1
topojson	1.9
tornado	6.4
tqdm	4.66.2
traitlets	5.14.2
trio	0.26.0
trio-websocket	0.11.1
truststore	0.8.0
typer	0.12.3
typing_extensions	4.11.0
tzdata	2024.1
Unidecode	1.3.8
url-normalize	1.4.3
urllib3	1.26.18
wasabi	1.1.3
wcwidth	0.2.13
weasel	0.4.1
webdriver-manager	4.0.2
websocket-client	1.8.0
Werkzeug	3.0.2
wheel	0.43.0
widgetsnbextension	4.0.10
wordcloud	1.9.3
wrapt	1.16.0
wsproto	1.2.0
xgboost	2.0.3
xlrd	2.0.1
xyzservices	2024.4.0
yarl	1.9.4
yellowbrick	1.5
zict	3.0.0
zipp	3.17.0
zstandard	0.22.0

View file history

md`Ce fichier a été modifié __${table_commit.length}__ fois depuis sa création le ${creation_string} (dernière modification le ${last_modification_string})`

creation = d3.min(
  table_commit.map(d => new Date(d.Date))
)

last_modification = d3.max(
  table_commit.map(d => new Date(d.Date))
)

creation_string = creation.toLocaleString("fr", {
  "day": "numeric",
  "month": "long",
  "year": "numeric"
})

last_modification_string = last_modification.toLocaleString("fr", {
  "day": "numeric",
  "month": "long",
  "year": "numeric"
})

html`<div>${git_history_table}</div>`

html`<div>${git_history_plot}</div>`

SHA	Date	Author	Description
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7d12af8	2023-12-05 10:30:08	linogaliana	Modularise la partie import pour l’avoir partout
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889a71b	2023-11-10 11:40:51	Antoine Palazzolo	Modification TP 3 (#443)
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9a4e226	2023-08-28 17:11:52	Lino Galiana	Action to check URL still exist (#399)
a8f90c2	2023-08-28 09:26:12	Lino Galiana	Update featured paths (#396)
3bdf3b0	2023-08-25 11:23:02	Lino Galiana	Simplification de la structure 🤓 (#393)
78ea2cb	2023-07-20 20:27:31	Lino Galiana	Change titles levels (#381)
29ff3f5	2023-07-07 14:17:53	linogaliana	description everywhere
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58c7128	2023-06-11 21:32:03	Lino Galiana	change na subset (#362)
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59eadf5	2020-11-12 16:41:46	Lino Galiana	Correction des typos partie ML (#81)
347f50f	2020-11-12 15:08:18	Lino Galiana	Suite de la partie machine learning (#78)
671f75a	2020-10-21 15:15:24	Lino Galiana	Introduction au Machine Learning (#72)

git_history_table = Inputs.table(
  table_commit,
  {
    format: {
      SHA: x => md`[${x}](${github_repo}/commit/${x})`,
      Description: x => md`${replacePullRequestPattern(x, github_repo)}`,
      /*Date: x => x.toLocaleString("fr", {
        "month": "numeric",
        "day": "numeric",
        "year": "numeric"
        })
      */
    }
  }
)

git_history_plot = Plot.plot({
  marks: [
    Plot.ruleY([0], {stroke: "royalblue"}),
    Plot.dot(
          table_commit,
          Plot.pointerX({x: (d) => new Date(d.date), y: 0, stroke: "red"})),
    Plot.dot(table_commit, {x: (d) => new Date(d.Date), y: 0, fill: "royalblue"})
  ]
})

function replacePullRequestPattern(inputString, githubRepo) {
    // Use a regular expression to match the pattern #digit
    var pattern = /#(\d+)/g;

    // Replace the pattern with ${github_repo}/pull/#digit
    var replacedString = inputString.replace(pattern, '[#$1](' + githubRepo + '/pull/$1)');

    return replacedString;
}

github_repo = "https://github.com/linogaliana/python-datascientist"

table_commit = {

// Get the HTML table by its class name
var table = document.querySelector('.commit-table');

// Check if the table exists
if (table) {
    // Initialize an array to store the table data
    var dataArray = [];

    // Extract headers from the first row
    var headers = [];
    for (var i = 0; i < table.rows[0].cells.length; i++) {
        headers.push(table.rows[0].cells[i].textContent.trim());
    }

    // Iterate through the rows, starting from the second row
    for (var i = 1; i < table.rows.length; i++) {
        var row = table.rows[i];
        var rowData = {};

        // Iterate through the cells in the row
        for (var j = 0; j < row.cells.length; j++) {
            // Use headers as keys and cell content as values
            rowData[headers[j]] = row.cells[j].textContent.trim();
        }

        // Push the rowData object to the dataArray
        dataArray.push(rowData);
    }
  }

  return dataArray

}

// Get the element with class 'git-details'
{
  var gitDetails = document.querySelector('.commit-table');

  // Check if the element exists
  if (gitDetails) {
      // Hide the element
      gitDetails.style.display = 'none';
  }
}

Plot = require('@observablehq/plot@0.6.12/dist/plot.umd.min.js')

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Citation

BibTeX citation:

@book{galiana2023,
  author = {Galiana, Lino},
  title = {Python Pour La Data Science},
  date = {2023},
  url = {https://pythonds.linogaliana.fr/},
  doi = {10.5281/zenodo.8229676},
  langid = {en}
}

For attribution, please cite this work as:

Galiana, Lino. 2023. Python Pour La Data Science. https://doi.org/10.5281/zenodo.8229676.