Sélection de variables : une introduction

L’accès à des bases de données de plus en plus riches permet des modélisations de plus en plus raffinées. Cependant, les modèles parcimonieux sont généralement préférables aux modèles extrêmement riches pour obtenir de bonnes performances sur un nouveau jeu de données (prédictions out-of-sample). Les méthodes de sélection de variables, notamment le LASSO, permettent de sélectionner le signal le plus pertinent dilué au milieu du bruit lorsqu’on a beaucoup d’information à traiter.

Modélisation
Exercice
Author

Lino Galiana

Published

2024-05-08

Ce chapitre utilise toujours le même jeu de données, présenté dans l’introduction de cette partie : les données de vote aux élections présidentielles américaines croisées à des variables sociodémographiques. Le code est disponible sur Github.

!pip install --upgrade xlrd #colab bug verson xlrd
!pip install geopandas
import requests

url = "https://raw.githubusercontent.com/linogaliana/python-datascientist/master/content/modelisation/get_data.py"
r = requests.get(url, allow_redirects=True)
open("getdata.py", "wb").write(r.content)

import getdata

votes = getdata.create_votes_dataframes()

Jusqu’à présent, nous avons supposé que les variables utiles à la prévision du vote Républicain étaient connues du modélisateur. Nous n’avons ainsi exploité qu’une partie limitée des variables disponibles dans nos données. Néanmoins, outre le fléau computationnel que représenterait la construction d’un modèle avec un grand nombre de variables, le choix d’un nombre restreint de variables (modèle parcimonieux) limite le risque de sur-apprentissage.

Comment, dès lors, choisir le bon nombre de variables et la meilleure combinaison de ces variables ? Il existe de multiples méthodes, parmi lesquelles :

Dans ce chapitre, nous allons présenter les enjeux principaux de la sélection de variables par le biais du LASSO.

Nous allons utiliser par la suite les fonctions ou packages suivants :

import numpy as np
from sklearn.svm import LinearSVC
from sklearn.feature_selection import SelectFromModel
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.linear_model import Lasso
import sklearn.metrics
from sklearn.linear_model import LinearRegression
import matplotlib.cm as cm
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import lasso_path
import seaborn as sns

1 Principe du LASSO

1.1 Principe général

La classe des modèles de feature selection est ainsi très vaste et regroupe un ensemble très diverse de modèles. Nous allons nous focaliser sur le LASSO (Least Absolute Shrinkage and Selection Operator) qui est une extension de la régression linéaire qui vise à sélectionner des modèles sparses. Ce type de modèle est central dans le champ du Compressed sensing (où on emploie plutôt le terme de L1-regularization que de LASSO). Le LASSO est un cas particulier des régressions elastic-net dont un autre cas fameux est la régression ridge. Contrairement à la régression linéaire classique, elles fonctionnent également dans un cadre où \(p>N\), c’est à dire où le nombre de régresseurs est très grand puisque supérieur au nombre d’observations.

1.2 Pénalisation

En adoptant le principe d’une fonction objectif pénalisée, le LASSO permet de fixer un certain nombre de coefficients à 0. Les variables dont la norme est non nulle passent ainsi le test de sélection.

1.3 Première régression LASSO

Comme nous cherchons à trouver les meilleurs prédicteurs du vote Républicain, nous allons retirer les variables qui sont dérivables directement de celles-ci: les scores des concurrents !

import pandas as pd

df2 = pd.DataFrame(votes.drop(columns="geometry"))
df2 = df2.loc[
    :,
    ~df2.columns.str.endswith(
        ("_democrat", "_green", "_other", "winner", "per_point_diff", "per_dem")
    ),
]


df2 = df2.loc[:, ~df2.columns.duplicated()]

Dans cet exercice, nous utiliserons également une fonction pour extraire les variables sélectionnées par le LASSO, la voici

Fonction pour récupérer les variables validées par l’étape de sélection
from sklearn.linear_model import Lasso
from sklearn.pipeline import Pipeline


def extract_features_selected(
    lasso: Pipeline, preprocessing_step_name: str = "preprocess"
) -> pd.Series:
    """
    Extracts selected features based on the coefficients obtained from Lasso regression.

    Parameters:
    - lasso (Pipeline): The scikit-learn pipeline containing a trained Lasso regression model.
    - preprocessing_step_name (str): The name of the preprocessing step in the pipeline. Default is 'preprocess'.

    Returns:
    - pd.Series: A Pandas Series containing selected features with non-zero coefficients.
    """
    # Check if lasso object is provided
    if not isinstance(lasso, Pipeline):
        raise ValueError("The provided lasso object is not a scikit-learn pipeline.")

    # Extract the final transformer from the pipeline
    lasso_model = lasso[-1]

    # Check if lasso_model is a Lasso regression model
    if not isinstance(lasso_model, Lasso):
        raise ValueError(
            "The final step of the pipeline is not a Lasso regression model."
        )

    # Check if lasso model has 'coef_' attribute
    if not hasattr(lasso_model, "coef_"):
        raise ValueError(
            "The provided Lasso regression model does not have 'coef_' attribute. "
            "Make sure it is a trained Lasso regression model."
        )

    # Get feature names from the preprocessing step
    features_preprocessing = lasso[preprocessing_step_name].get_feature_names_out()

    # Extract selected features based on non-zero coefficients
    features_selec = pd.Series(features_preprocessing[np.abs(lasso_model.coef_) > 0])

    return features_selec

Le pipeline de preprocessing (question 3) prend la forme suivante:

ColumnTransformer(transformers=[('number',
                                 Pipeline(steps=[('impute', SimpleImputer()),
                                                 ('scale', StandardScaler())]),
                                 ['ALAND', 'AWATER', 'votes_gop', 'votes_dem',
                                  'total_votes', 'diff', 'FIPS_y',
                                  'Rural-urban_Continuum Code_2003',
                                  'Rural-urban_Continuum Code_2013',
                                  'Urban_Influence_Code_2003',
                                  'Urban_Influence_Code_2013',
                                  'Economic_typology_2015', 'CENSUS_2010_POP'...
                                  'N_POP_CHG_2013', 'N_POP_CHG_2014',
                                  'N_POP_CHG_2015', ...]),
                                ('category',
                                 Pipeline(steps=[('impute',
                                                  SimpleImputer(strategy='most_frequent')),
                                                 ('one-hot',
                                                  OneHotEncoder(handle_unknown='ignore',
                                                                sparse_output=False))]),
                                 ['STATEFP', 'COUNTYFP', 'COUNTYNS', 'AFFGEOID',
                                  'GEOID', 'NAME', 'LSAD', 'FIPS_x',
                                  'state_name', 'county_fips', 'county_name',
                                  'State', 'Area_Name', 'FIPS'])])
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/opt/mamba/lib/python3.11/site-packages/sklearn/impute/_base.py:577: UserWarning:

Skipping features without any observed values: ['POV04_2019' 'CI90LB04_2019' 'CI90UB04_2019' 'PCTPOV04_2019'
 'CI90LB04P_2019' 'CI90UB04P_2019']. At least one non-missing value is needed for imputation with strategy='mean'.
Pipeline(steps=[('preprocess',
                 ColumnTransformer(transformers=[('number',
                                                  Pipeline(steps=[('impute',
                                                                   SimpleImputer()),
                                                                  ('scale',
                                                                   StandardScaler())]),
                                                  ['ALAND', 'AWATER',
                                                   'votes_gop', 'votes_dem',
                                                   'total_votes', 'diff',
                                                   'FIPS_y',
                                                   'Rural-urban_Continuum '
                                                   'Code_2003',
                                                   'Rural-urban_Continuum '
                                                   'Code_2013',
                                                   'Urban_Influence_Code_2003',
                                                   'Urban_Influence_Code_2013',
                                                   'Economi...
                                                   'N_POP_CHG_2015', ...]),
                                                 ('category',
                                                  Pipeline(steps=[('impute',
                                                                   SimpleImputer(strategy='most_frequent')),
                                                                  ('one-hot',
                                                                   OneHotEncoder(handle_unknown='ignore',
                                                                                 sparse_output=False))]),
                                                  ['STATEFP', 'COUNTYFP',
                                                   'COUNTYNS', 'AFFGEOID',
                                                   'GEOID', 'NAME', 'LSAD',
                                                   'FIPS_x', 'state_name',
                                                   'county_fips', 'county_name',
                                                   'State', 'Area_Name',
                                                   'FIPS'])])),
                ('model', Lasso(alpha=0.1))])
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Le pipeline prend la forme suivante, une fois finalisé (question 4):

Pipeline(steps=[('preprocess',
                 ColumnTransformer(transformers=[('number',
                                                  Pipeline(steps=[('impute',
                                                                   SimpleImputer()),
                                                                  ('scale',
                                                                   StandardScaler())]),
                                                  ['ALAND', 'AWATER',
                                                   'votes_gop', 'votes_dem',
                                                   'total_votes', 'diff',
                                                   'FIPS_y',
                                                   'Rural-urban_Continuum '
                                                   'Code_2003',
                                                   'Rural-urban_Continuum '
                                                   'Code_2013',
                                                   'Urban_Influence_Code_2003',
                                                   'Urban_Influence_Code_2013',
                                                   'Economi...
                                                   'N_POP_CHG_2015', ...]),
                                                 ('category',
                                                  Pipeline(steps=[('impute',
                                                                   SimpleImputer(strategy='most_frequent')),
                                                                  ('one-hot',
                                                                   OneHotEncoder(handle_unknown='ignore',
                                                                                 sparse_output=False))]),
                                                  ['STATEFP', 'COUNTYFP',
                                                   'COUNTYNS', 'AFFGEOID',
                                                   'GEOID', 'NAME', 'LSAD',
                                                   'FIPS_x', 'state_name',
                                                   'county_fips', 'county_name',
                                                   'State', 'Area_Name',
                                                   'FIPS'])])),
                ('model', Lasso(alpha=0.1))])
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A l’issue de la question 5, les variables sélectionnées sont :

Le modèle est assez parcimonieux puisqu’un sous-échantillon de nos variables initiales (d’autant que nos variables catégorielles ont été éclatées en de nombreuses variables par le one hot encoding)

0                                                 ALAND
1                                                FIPS_y
2                                INTERNATIONAL_MIG_2017
3                                     DOMESTIC_MIG_2014
4                                     DOMESTIC_MIG_2017
5                                         RESIDUAL_2010
6                                         RESIDUAL_2019
7                                          R_death_2012
8                                          R_death_2019
9                                    R_NATURAL_INC_2019
10                             R_INTERNATIONAL_MIG_2011
11                                  R_DOMESTIC_MIG_2012
12    Percent of adults with a bachelor's degree or ...
13    Percent of adults with a high school diploma o...
14    Percent of adults with a bachelor's degree or ...
15    Percent of adults with a bachelor's degree or ...
16                      Rural_urban_continuum_code_2013
17                                           Metro_2013
18                               Unemployment_rate_2002
19                               Unemployment_rate_2003
20                               Unemployment_rate_2012
21                      Rural-urban_Continuum_Code_2003
22                      Rural-urban_Continuum_Code_2013
23                                      CI90LB517P_2019
24                       candidatevotes_2016_republican
25                                share_2012_republican
26                                share_2016_republican
dtype: object

Certaines variables font sens, comme les variables d’éducation par exemple. Notamment, un des meilleurs prédicteurs pour le score des Républicains en 2020 est… le score des Républicains (et mécaniquement des démocrates) en 2016 et 2012.

Par ailleurs, on sélectionne des variables redondantes. Une phase plus approfondie de nettoyage des données serait en réalité nécessaire.

Le modèle parcimonieux est (légèrement) plus performant:

parcimonieux non parcimonieux
RMSE 2.703622 2.309011
R2 0.972728 0.980108
Nombre de paramètres 27.000000 332.000000

D’ailleurs, on pourrait déjà remarquer que régresser le score de 2020 sur celui de 2016 amène déjà à de très bonnes performances explicatives, ce qui suggère que le vote se comporte comme un processus autorégressif:

import statsmodels.api as sm
import statsmodels.formula.api as smf

smf.ols("per_gop ~ share_2016_republican", data=df2).fit().summary()
OLS Regression Results
Dep. Variable: per_gop R-squared: 0.968
Model: OLS Adj. R-squared: 0.968
Method: Least Squares F-statistic: 9.292e+04
Date: Wed, 08 May 2024 Prob (F-statistic): 0.00
Time: 07:55:47 Log-Likelihood: 6603.5
No. Observations: 3107 AIC: -1.320e+04
Df Residuals: 3105 BIC: -1.319e+04
Df Model: 1
Covariance Type: nonrobust
coef std err t P>|t| [0.025 0.975]
Intercept 0.0109 0.002 5.056 0.000 0.007 0.015
share_2016_republican 1.0101 0.003 304.835 0.000 1.004 1.017
Omnibus: 2045.232 Durbin-Watson: 1.982
Prob(Omnibus): 0.000 Jarque-Bera (JB): 51553.266
Skew: 2.731 Prob(JB): 0.00
Kurtosis: 22.193 Cond. No. 9.00


Notes:
[1] Standard Errors assume that the covariance matrix of the errors is correctly specified.

2 Rôle de la pénalisation \(\alpha\) sur la sélection de variables

Nous avons jusqu’à présent pris l’hyperparamètre \(\alpha\) comme donné. Quel rôle joue-t-il dans les conclusions de notre modélisation ? Pour cela, nous pouvons explorer l’effet que sa valeur peut avoir sur le nombre de variables passant l’étape de sélection.

Pour le prochain exercice, nous allons considérer exclusivement les variables quantitatives pour accélérer les calculs. En effet, avec des modèles non parcimonieux, les multiples modalités de nos variables catégorielles rendent le problème d’optimisation difficilement tractable.

preprocessed_features = pd.DataFrame(
    numeric_pipeline.fit_transform(X_train.drop(columns=categorical_features))
)
/opt/mamba/lib/python3.11/site-packages/sklearn/impute/_base.py:577: UserWarning:

Skipping features without any observed values: ['POV04_2019' 'CI90LB04_2019' 'CI90UB04_2019' 'PCTPOV04_2019'
 'CI90LB04P_2019' 'CI90UB04P_2019']. At least one non-missing value is needed for imputation with strategy='mean'.

La relation que vous devriez obtenir entre \(\alpha\) et le nombre de paramètres est celle-ci:

On voit que plus \(\alpha\) est élevé, moins le modèle sélectionne de variables.

3 Validation croisée pour sélectionner le modèle

Quel \(\alpha\) faut-il privilégier ? Pour cela, il convient d’effectuer une validation croisée afin de choisir le modèle pour lequel les variables qui passent la phase de sélection permettent de mieux prédire le résultat Républicain :

from sklearn.linear_model import LassoCV

lcv = LassoCV(alphas=my_alphas, fit_intercept=False, random_state=0, cv=5).fit(
    preprocessed_features, y_train
)

On peut récupérer le “meilleur” \(\alpha\):

print("alpha optimal :", lcv.alpha_)
alpha optimal : 1.0

Celui-ci peut être utilisé pour faire tourner un nouveau pipeline:

model = Lasso(fit_intercept=False, alpha=lcv.alpha_)

lasso_pipeline = Pipeline(steps=[("preprocess", preprocessor), ("model", model)])


lasso_optimal = lasso_pipeline.fit(X_train, y_train)

features_selec2 = extract_features_selected(lasso_optimal)

Les variables sélectionnées sont :

0                                          R_birth_2017
1     Percent of adults with less than a high school...
2     Percent of adults completing some college or a...
3     Percent of adults with a bachelor's degree or ...
4     Percent of adults with a high school diploma o...
5     Percent of adults with a bachelor's degree or ...
6                                        CI90LBINC_2019
7                        candidatevotes_2016_republican
8                                 share_2008_republican
9                                 share_2012_republican
10                                share_2016_republican
11                                           STATEFP_22
12                                              LSAD_06
13                                              LSAD_15
14                                 state_name_Louisiana
dtype: object

Cela correspond à un modèle avec 15 variables sélectionnées.

Informations additionnelles

environment files have been tested on.

Latest built version: 2024-05-08

Python version used:

'3.11.6 | packaged by conda-forge | (main, Oct  3 2023, 10:40:35) [GCC 12.3.0]'
Package Version
affine 2.4.0
aiobotocore 2.12.2
aiohttp 3.9.3
aioitertools 0.11.0
aiosignal 1.3.1
alembic 1.13.1
aniso8601 9.0.1
annotated-types 0.6.0
appdirs 1.4.4
archspec 0.2.3
astroid 3.1.0
asttokens 2.4.1
attrs 23.2.0
Babel 2.15.0
bcrypt 4.1.2
beautifulsoup4 4.12.3
black 24.4.2
blinker 1.7.0
blis 0.7.11
bokeh 3.4.0
boltons 23.1.1
boto3 1.34.51
botocore 1.34.51
branca 0.7.1
Brotli 1.1.0
cachetools 5.3.3
cartiflette 0.0.2
Cartopy 0.23.0
catalogue 2.0.10
cattrs 23.2.3
certifi 2024.2.2
cffi 1.16.0
charset-normalizer 3.3.2
chromedriver-autoinstaller 0.6.4
click 8.1.7
click-plugins 1.1.1
cligj 0.7.2
cloudpathlib 0.16.0
cloudpickle 3.0.0
colorama 0.4.6
comm 0.2.2
commonmark 0.9.1
conda 24.3.0
conda-libmamba-solver 24.1.0
conda-package-handling 2.2.0
conda_package_streaming 0.9.0
confection 0.1.4
contextily 1.6.0
contourpy 1.2.1
cryptography 42.0.5
cycler 0.12.1
cymem 2.0.8
cytoolz 0.12.3
dask 2024.4.1
dask-expr 1.0.10
debugpy 1.8.1
decorator 5.1.1
dill 0.3.8
distributed 2024.4.1
distro 1.9.0
docker 7.0.0
duckdb 0.10.1
en-core-web-sm 3.7.1
entrypoints 0.4
et-xmlfile 1.1.0
exceptiongroup 1.2.0
executing 2.0.1
fastjsonschema 2.19.1
fiona 1.9.6
flake8 7.0.0
Flask 3.0.2
folium 0.16.0
fontawesomefree 6.5.1
fonttools 4.51.0
frozenlist 1.4.1
fsspec 2023.12.2
GDAL 3.8.4
gensim 4.3.2
geographiclib 2.0
geopandas 0.12.2
geoplot 0.5.1
geopy 2.4.1
gitdb 4.0.11
GitPython 3.1.43
google-auth 2.29.0
graphene 3.3
graphql-core 3.2.3
graphql-relay 3.2.0
graphviz 0.20.3
great-tables 0.5.1
greenlet 3.0.3
gunicorn 21.2.0
h11 0.14.0
htmltools 0.5.1
hvac 2.1.0
idna 3.6
imageio 2.34.1
importlib_metadata 7.1.0
importlib_resources 6.4.0
inflate64 1.0.0
ipykernel 6.29.3
ipython 8.22.2
ipywidgets 8.1.2
isort 5.13.2
itsdangerous 2.1.2
jedi 0.19.1
Jinja2 3.1.3
jmespath 1.0.1
joblib 1.3.2
jsonpatch 1.33
jsonpointer 2.4
jsonschema 4.21.1
jsonschema-specifications 2023.12.1
jupyter-cache 1.0.0
jupyter_client 8.6.1
jupyter_core 5.7.2
jupyterlab_widgets 3.0.10
kaleido 0.2.1
kiwisolver 1.4.5
kubernetes 29.0.0
langcodes 3.4.0
language_data 1.2.0
lazy_loader 0.4
libmambapy 1.5.7
llvmlite 0.42.0
locket 1.0.0
lxml 5.2.1
lz4 4.3.3
Mako 1.3.2
mamba 1.5.7
mapclassify 2.6.1
marisa-trie 1.1.1
Markdown 3.6
MarkupSafe 2.1.5
matplotlib 3.8.3
matplotlib-inline 0.1.6
mccabe 0.7.0
menuinst 2.0.2
mercantile 1.2.1
mizani 0.11.2
mlflow 2.11.3
mlflow-skinny 2.11.3
msgpack 1.0.7
multidict 6.0.5
multivolumefile 0.2.3
munkres 1.1.4
murmurhash 1.0.10
mypy 1.9.0
mypy-extensions 1.0.0
nbclient 0.10.0
nbformat 5.10.4
nest_asyncio 1.6.0
networkx 3.3
nltk 3.8.1
numba 0.59.1
numpy 1.26.4
oauthlib 3.2.2
opencv-python-headless 4.9.0.80
openpyxl 3.1.2
outcome 1.3.0.post0
OWSLib 0.28.1
packaging 23.2
pandas 2.2.1
paramiko 3.4.0
parso 0.8.4
partd 1.4.1
pathspec 0.12.1
patsy 0.5.6
Pebble 5.0.7
pexpect 4.9.0
pickleshare 0.7.5
pillow 10.3.0
pip 24.0
pkgutil_resolve_name 1.3.10
platformdirs 4.2.0
plotly 5.19.0
plotnine 0.13.5
pluggy 1.4.0
polars 0.20.18
preshed 3.0.9
prometheus_client 0.20.0
prometheus-flask-exporter 0.23.0
prompt-toolkit 3.0.42
protobuf 4.25.3
psutil 5.9.8
ptyprocess 0.7.0
pure-eval 0.2.2
py7zr 0.20.8
pyarrow 15.0.0
pyarrow-hotfix 0.6
pyasn1 0.5.1
pyasn1-modules 0.3.0
pybcj 1.0.2
pycodestyle 2.11.1
pycosat 0.6.6
pycparser 2.21
pycryptodomex 3.20.0
pydantic 2.7.1
pydantic_core 2.18.2
pyflakes 3.2.0
Pygments 2.17.2
PyJWT 2.8.0
pylint 3.1.0
PyNaCl 1.5.0
pynsee 0.1.7
pyOpenSSL 24.0.0
pyparsing 3.1.2
pyppmd 1.1.0
pyproj 3.6.1
pyshp 2.3.1
PySocks 1.7.1
python-dateutil 2.9.0
python-dotenv 1.0.1
python-magic 0.4.27
pytz 2024.1
pyu2f 0.1.5
pywaffle 1.1.0
PyYAML 6.0.1
pyzmq 25.1.2
pyzstd 0.15.10
QtPy 2.4.1
querystring-parser 1.2.4
rasterio 1.3.10
referencing 0.34.0
regex 2023.12.25
requests 2.31.0
requests-cache 1.2.0
requests-oauthlib 2.0.0
rpds-py 0.18.0
rsa 4.9
Rtree 1.2.0
ruamel.yaml 0.18.6
ruamel.yaml.clib 0.2.8
s3fs 2023.12.2
s3transfer 0.10.1
scikit-image 0.23.2
scikit-learn 1.4.1.post1
scipy 1.13.0
seaborn 0.13.2
selenium 4.20.0
setuptools 69.2.0
shapely 2.0.3
six 1.16.0
smart-open 6.4.0
smmap 5.0.0
sniffio 1.3.1
snuggs 1.4.7
sortedcontainers 2.4.0
soupsieve 2.5
spacy 3.7.4
spacy-legacy 3.0.12
spacy-loggers 1.0.5
SQLAlchemy 2.0.29
sqlparse 0.4.4
srsly 2.4.8
stack-data 0.6.2
statsmodels 0.14.1
tabulate 0.9.0
tblib 3.0.0
tenacity 8.2.3
texttable 1.7.0
thinc 8.2.3
threadpoolctl 3.4.0
tifffile 2024.5.3
tomli 2.0.1
tomlkit 0.12.4
toolz 0.12.1
topojson 1.8
tornado 6.4
tqdm 4.66.2
traitlets 5.14.2
trio 0.25.0
trio-websocket 0.11.1
truststore 0.8.0
typer 0.9.4
typing_extensions 4.11.0
tzdata 2024.1
Unidecode 1.3.8
url-normalize 1.4.3
urllib3 1.26.18
wasabi 1.1.2
wcwidth 0.2.13
weasel 0.3.4
webcolors 1.13
webdriver-manager 4.0.1
websocket-client 1.7.0
Werkzeug 3.0.2
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Citation

BibTeX citation:
@book{galiana2023,
  author = {Galiana, Lino},
  title = {Python Pour La Data Science},
  date = {2023},
  url = {https://pythonds.linogaliana.fr/},
  doi = {10.5281/zenodo.8229676},
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For attribution, please cite this work as:
Galiana, Lino. 2023. Python Pour La Data Science. https://doi.org/10.5281/zenodo.8229676.